จำนวนเส้นทะแยงมุมของรูป n เหลี่ยม

จำไม่ได้แล้วว่าต้อนนั้นคิดอะไรถึงอยากจะรู้จำนวนเส้นทะแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ จำได้แค่ว่าจู่ ๆ ก็หยิบปากกากับกระดาษมานั่ง ๆ นอน ๆ คิดอะไรไปเรื่อย ๆ จนได้คำตอบออกมาเป็นสูตร ซึ่งตรงกับสูตรในการหาจำนวนเส้นทะแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ พอดี

ตอนที่คิดมันเริ่มจาก

  • รูป 4 เหลี่ยม มีมุมทั้งหมด 4 มุม ก็วาดจุด 4 จุดก่อน ยังไม่ต้องวาดเป็น 4 เหลี่ยม
  • มุมที่ 1 สามารถลากเส้นไปยังมุมอื่น ๆ ที่เหลือได้ 3 มุม
  • มุมที่ 2 สามารถลากเส้นไปยังมุมอื่น ๆ โดยไม่ซ้ำกับมุมแรกได้ 2 มุม
  • มุมที่ 3 สามารถลากเส้นไปยังมุมอื่น ๆ โดยไม่ซ้ำกับมุมแรกและมุมที่สองได้ 1 มุม
  • มุมสุดท้ายลากเส้นไปไหนไม่ได้เลย

แล้วก็ลองทำกับรูป 5 เหลี่ยม ก็เริ่มเห็นรูปแบบออกมาว่า ถ้ารูป n เหลี่ยมใด ๆ จะสามารถลากเส้นจากมุมมุมหนึ่งไปยังมุมที่เหลือโดยไม่ซ้ำกันได้เท่ากับ มุม ก็จะเป็นผลบวก x จำนวน เมื่อ x เริ่มต้นจาก 0 ถึง n-1 ก็จะมีค่าเป็น

แต่ มันจะรวมทุกเส้นในรูปหลายเหลี่ยม แต่เราจะเอาเฉพาะเส้นทะแยงมุม ดังนั้นก็ให้ลบเส้นรอบรูปออก n เส้น ก็จะกลายเป็น  ซึ่งมีค่าเท่ากับ  หรือ  หรือ เราจะได้ เป็นสูตรในการหาจำนวนเส้นทะแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ

เช่น ถ้าต้องการหาจำนวนเส้นทะแยงมุมของรูป 10 เหลี่ยม ก็เอา 10 ไปแทนใน n ของสมการ ก็จะได้เป็น  หรือ  หรือจำนวนเส้นทะแยงมุมของรูป 10 เหลี่ยม จะมีจำนวน 35 เส้นนั่นเอง

เพิ่มเติม

ไปได้วิธีที่น่าสนใจจากดิวกับรุ่งมา 2 วิธี

ใช้วิธีจัดหมู่ (Combination) ในเรื่องความน่าจะเป็น

รูป n เหลี่ยมใด ๆ มี n จุดเป็นมุม เราสามารถจับคู่มุมสองมุมใด จาก n มุม ได้ วิธี

เสร็จแล้วเราก็ตัดเส้นรอบรูปออก ก็จะได้ เป็นอีกวิธีหนึ่ง

ถ้าต้องการหาจำนวนเส้นทะแยงมุมของรูป 10 เหลี่ยม ก็จะได้  ก็จะได้คำตอบเป็น 35 เส้นเช่นเดียวกัน

อีกวิธีคิดแบบนี้

  • รูป n เหลี่ยม มี n จุดเป็นมุม ลากเส้นจากจุดใด ๆ ไปยังจุดอื่น ๆ ในรูปโดยไม่นับตัวมัและจุดสองข้าง (จุดที่ทำให้เกิดเป็นเส้นรอบรูป) ได้ทั้งหมด วิธี
  • มีจุดทั้งหมด n จุด ดังนั้น วิธีทั้งหมดจะได้ วิธี
  • แต่วิธีนี้มันจะได้เส้นที่ทับกันไปกลับของ 2 จุดอยู่ ดังนั้นจับหาร 2 ก็จะได้ ออกมาเป็นสูตรเดียวกันกับวิธีแรกสุด

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *